Question

4．已知函數(shù) f（ x）=x ³-bx ²+2cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x=2對稱．
（1）求 b的值；
（2）若函數(shù) f（ x）無極值，求 c的取值范圍；
（3）若 f（ x）在 x=t處取得極小值，求此極小值為 g（ t）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，可知-$\frac{-2b}{6}$=2，從而可求b的值；
（2）函數(shù)f（x）無極值，即導(dǎo)函數(shù)為0的方程至多有一解，從而可求c的取值范圍；
（3）由（2）知，c＜6，f'（x）=0有兩個異實根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂，易得f（x）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值，且x₂＞2，可知函數(shù)g（t）的定義域為（2，+∞），根據(jù)f'（t）=3t²-12t+2c=0得2c=-3t²+12t．從而可得g（t）=f（t）=t³-6t²+（-3t²+12t）t=-2t³+6t²，再利用函數(shù)g（t）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，可求函數(shù)g（t）的取值范圍．

解答 解：（1）f'（ x）=3 x ²-2 bx+2 c，
∵f'（ x）關(guān)于直線 x=2對稱，
∴$\frac{3}$=2，即 b=6．
（2）由（1）知 f（ x）=x ³-6 x ²+2 cx，
f'（ x）=3 x ²-12 x+2 c=3（ x-2）²+2 c-12，
當(dāng)2 c-12≥0，即 c≥6時，f'（ x）≥0，此時 f（ x）無極值．
（3）當(dāng) c＜6時，f'（ x）=0有兩個相異實根為 x ₁，x ₂，
不妨設(shè) x ₁＜x ₂，則 x ₁＜2＜x ₂，
當(dāng) x＜x ₁時，f'（ x）＞0，f（ x）在（-∞，x ₁）上單調(diào)遞增，
當(dāng) x ₁＜x＜x ₂時，f'（ x）＜0，f（ x）在（ x ₁，x ₂）上單調(diào)遞減，
當(dāng) x＞x ₂時，f'（ x）＞0，f（ x）在（ x ₂，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（ x）在 x=x ₁處取得極大值，在 x=x ₂處取得極小值，
所以 t=x ₂＞2，
∴f'（ t）=3 t ²-12 t+2 c=0得
2 c=-3 t ²+12 t，
∴g（ t）=f（ t）=t ³-6 t ²+（-3 t ²+12 t） t
=-2 t ³+6 t ²，t∈（2，+∞），
而 g'（ t）=-6 t ²+12 t=-6 t（ t-2）＜0，
∴g（ t）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（ t）＜g（2）=-2•2 ³+6-2 ²=8，
∴g（ t）＜8．

點評 本題以導(dǎo)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，同時考查了函數(shù)的定義域與值域，綜合性強．