已知點H(－3，0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足·＝0，＝．

(1)

當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C

(2)

過點T(－1，0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E(x。，0)，使得△ABE為等邊三角形，求x0的值．

答案：
解析：

(1)

　　解析：設(shè)點M的坐標為(x，y)，由=－，得P(0，－)，Q(，0)．

　　由·=0得(3，－)·(x，y)=0，得y2=4x．由點Q在x軸的正半軸上，得x＞0．

　　所以，動點M的軌跡C是以(0，0)為頂點，(1，0)為焦點的拋物線(除去原點)．

(2)

　　設(shè)直線l：y=k(x＋1)，其中k≠0，代入y2=4x得k2x2＋2(k2－2)x十k2=0．　①

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩個實根．

　　所以x1＋x2=－，x1·x2=1．

　　則線段AB的中點坐標為(，)，線段AB的垂直平分線方程為y－=－(x－)．

　　令y=0，解得x0=＋1，所以點E的坐標為(＋1，0)．

　　因為△ABE為正三角形，所以點E(＋1，0)到直線AB的距離等于｜AB｜，

　　而｜AB｜=

　　　　　　=·，

　　所以=．

　　解得k=±，所以x0=．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過點（1，0）作直線L交軌跡C于A、B兩點，已知
AF
=2
FB
，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
①當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
②過點R（2，1）作直線l與軌跡C交于A，B兩點，使得R恰好為弦AB的中點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點D（m，0）（m＞0）作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關(guān)于坐標原點O的對稱點，試問∠AED=∠BED嗎？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且
HP
•
PM
=0，又
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞2）與軌跡C交于A、B兩點，AB中點N到直線3x+4y+m=0（m＞-3）的距離為
1
5
，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•盧灣區(qū)二模）如圖，已知點H（-3，0），動點P在y軸上，點Q在x軸上，其橫坐標不小于零，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）（在下列兩題中，任選一題，寫出計算過程，并求出結(jié)果，若同時選做兩題，
則只批閱第②小題，第①題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：
①將（1）中的曲線C推廣為橢圓：
x2
2
+y2=1，并
將（2）中的定點取為焦點F（1，0），求與（2）相類似的問題的解；
②（解答本題，最多得9分）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1，并
將（2）中的定點取為原點，求與（2）相類似的問題的解．

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