Question

已知{a_n}是遞減的等差數(shù)列，a₂，a₃是方程x²-5x+6=0的根．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）方程x²-5x+6=0的兩根為2，3．由題意得a₂=3，a₃=2．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）方程x²-5x+6=0的兩根為2，3．
由題意得a₂=3，a₃=2．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a₃-a₂=d，
故d=-1，從而得a₁=4．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-n+5．
（2）設(shè)

an

2n

的前n項(xiàng)和為S_n，由（1）知

an

2n

=

-n+5

2n

，
則Sn=

4

2

+

3

22

+

2

23

+

1

24

+…+

-n+5

2n

，

1

2

Sn=

4

22

+

3

23

+

2

24

+

1

25

+…+

-n+6

2n

+

-n+5

2n+1

，
兩式相減得

1

2

Sn=2-(

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

)-

-n+5

2n+1

即

1

2

Sn=2-(

1 4 - 1 2n+1

1- 1 2

)-

-n+5

2n+1

，

1

2

Sn=2-(

1 4 - 1 2n+1

1- 1 2

)-

-n+5

2n+1

，
∴Sn=3+(

n-3

2n

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．