Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（{2m+1}）{x^2}+3m（{m+2}）x+1$，其中m為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為3x+3y-4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}f（1）=\frac{1}{3}\\ f'（1）=-1\end{array}\right.$…（2分）
所以有：$\left\{\begin{array}{l}3{m^2}+4m=0\\ 3{m^2}+2m=0\end{array}\right.$，∴m=0．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-2（2m+1）x+3m（m+2）=（x-3m）（x-m-2）…（5分）
當(dāng)3m=m+2即m=1時(shí)，f'（x）=（x-3）²≥0，所以f（x）單調(diào)遞增；…（6分）
當(dāng)3m＞m+2即m＞1時(shí)，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0可得x＜m+2或x＞3m；
所以此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（-∞，m+2）和（3m，+∞）…（8分）
當(dāng)3m＜m+2即m＜1時(shí)，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0可得x＜3m或x＞m+2；
所以此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（-∞，3m）和（m+2，+∞）…（10分）
綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，f（x）增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，m+2）和（3m，+∞）；
當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，3m）和（m+2，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．