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5.已知n∈N*,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2an-Sn=1.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出通項公式;
(2)對于任意ai、aj∈{a1,a2,…,an}(其中1≤i≤n,1≤j≤n,i、j均為正整數(shù)),若ai和aj的所有乘積ai•aj的和記為Tn,試求lim的值;
(3)設(shè)1+{b_n}=3{log_2}{a_n},{c_n}={({-1})^{n+1}}{b_n}•{b_{n+1}},若數(shù)列{cn}的前n項和為Cn,是否存在這樣的實數(shù)t,使得對于所有的n都有{C_n}≥t{n^2}成立,若存在,求出t的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (1)當(dāng)n≥2時通過2an-Sn=1與2an-1-Sn-1=1作差,進(jìn)而計算可得結(jié)論;
(2)通過(1)可得Tn的表達(dá)式,進(jìn)而計算即得結(jié)論;
(3)通過(1)可知數(shù)列{cn}的通項公式,利用并項相加、分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可.

解答 (1)證明:∵2an-Sn=1,
∴當(dāng)n≥2時,2an-1-Sn-1=1,
兩式相減,整理得:an=2an-1(n≥2),
又∵2a1-S1=1,即a1=1,
∴數(shù)列{an}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列,
∴an=2n-1
(2)解:∵Tn=(1+2+22+…+2n-1)(1+2+22+…+2n-1
=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}\frac{1-{2}^{n}}{1-2}
=4n-2•2n+1,
\lim_{x→∞}\frac{T_n}{4^n}=\underset{lim}{x→∞}\frac{{4}^{n}-2•{2}^{n}+1}{{4}^{n}}=1;
(3)結(jié)論:存在這樣的實數(shù)t,使得對于所有的n都有{C_n}≥t{n^2}成立.
理由如下:
由(1)可知,1+bn=3log2an=3n-3,即bn=3n-4,bn+1=3n-1,
故cn=(-1)n+1bn•bn+1=(-1)n+1(3n-4)(3n-1),cn+1=(-1)n+2(3n-1)(3n+2),
特別地,當(dāng)n為奇數(shù)時,有n+1為偶數(shù),
此時cn+cn+1=(3n-4)(3n-1)-(3n-1)(3n+2)=-6(3n-1),
①若n為偶數(shù),則Cn=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(cn-1+cn
=-6×[2+8+…+(3n-4)]
=-\frac{3}{2}n(3n-2),
{C_n}≥t{n^2}可知t≤-\frac{3}{2}(3-\frac{2}{n})對所有正偶數(shù)n都成立,故t≤-\frac{9}{2};
②若n為奇數(shù),則Cn=Cn-1+cn(n≥2),
由①可知Cn=-\frac{3}{2}(n-1)(3n-5)+(3n-4)(3n-1)=\frac{9}{2}n2-3n-\frac{7}{2},
其中C1=-2滿足上式;
由①②可得實數(shù)t的取值范圍是:t≤-\frac{9}{2},
所以存在這樣的實數(shù)t,使得對于所有的n都有{C_n}≥t{n^2}成立.

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題,考查分類討論的思想,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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喜食蔬菜喜食肉類合計
男同學(xué)
女同學(xué)
合計
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下面公式及臨界值表僅供參考:附:X2=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

P(K2≥k)0.1000.050.010
k2.7063.8416.635

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