Question

（2005•閘北區(qū)一模）現定義復函數如下：在某個變化過程中有兩個變量z與w，如果對于z的某個范圍D內的每一個確定的復數，按照某個對應法則f，w都有唯一確定的復數與它對應，那么，我們就稱w是z的復函數，記作w=f（z）．設復函數f(z)=

. z

z2+1

，
（Ⅰ）求f（1+i）的值； 
（Ⅱ）若f（z）=1，求z的值．

Answer 1

分析：（I）根據所給的函數的解析式和自變量的值，把自變量的值代入寫出對應的解析式，進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，整理出最簡形式．
（II）設出復數z的代數形式，代入所給的解析式，使得函數值等于1，得到關于a，b的方程組，解方程組即可得到結果．

解答：解：（Ⅰ）根據所給的解析式和自變量的值，得到
f（1+i）=

. 1+i

(1+i)2+1

=

1-i

1+2i

=

(1-i)(1-2i)

5

=-

1

5

-

3

5

i．
（Ⅱ）設z=a+bi（a，b∈R），
f（z）=1⇒a-bi=(a+bi)2+1⇒

a=a2-b2+1 -b=2ab

⇒

a=- 1 2 b=± 7 2

，
∴z=-

1

2

±

7

2

i．

點評：本題考查復數的代數形式的乘除運算及復數相等的充要條件，本題解題的關鍵是讀懂題意，本題是一個新定義問題，需要理解題意再進行復數的運算．