橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線
x2
b2
-
y2
c2
=1有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1⊥PF2，則兩曲線的離心率之積是
2
3
3
2
3
3
．
分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2m，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2b，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，b的等式，從而可得到結(jié)論．
解答：解：由題意設(shè)焦距為2m，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2b，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2b  ①
由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a  ②
又PF1⊥PF2，故|PF1|2+|PF2|2=4m2   ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2b2④
∴a2+b2=2m2，
∵a2-b2=m2，
∴a2=
3
2
m2，b2=
1
2
m2
∴橢圓的離心率為
m
a
=
6
3
，雙曲線的離心率為
m
b
=
2

∴兩曲線的離心率之積是
m
a
×
m
b
=
m2
ab
=
2
3
3

故答案為：
2
3
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e1與雙曲線心率e2滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來(lái)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問(wèn)：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請(qǐng)加以證明；若不能平分，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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