Question

【題目】設(shè)f（x）=xex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=（x+1）2 ．
（Ⅰ）記 ，討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函數(shù)G（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)F（x）= = ，（x≠﹣1），

F′（x）= = ，

∴當x∈（﹣∞，﹣1）時，F(xiàn)′（x）＜0，當x∈（﹣1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，

∴F（x）在（﹣∞，﹣1）是減函數(shù)，在（﹣1，+∞）是增函數(shù)；

（Ⅱ）G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2，

G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），

當a=0時，G（x）=（x+1）2，有唯一零點：﹣1，

當a＞0時，aex+2＞0，則x∈（﹣∞，﹣1）時，G′（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減，

當x∈（﹣1，+∞），G′（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增，

G（x）極小值=G（﹣1）=﹣ ＜0，由G（0）=1＞0，

∴當x∈（﹣1，+∞），G（x）有唯一的零點，

當x＜﹣1時，ax＜0，則ex＜ ，axex＞ ，

∴G（x）＞ +（x+1）2=x2+（2+ ）x+1，

由△=（2+ ）2﹣4×1×1= +（ ）2＞0，

∴t1，t2，且t1＜t2，當x∈（﹣∞，t1）（t2，+∞）使得x2+（2+ ）x+1＞0，

取x0∈（﹣∞，﹣1）∩（﹣∞，t1），則G（x0）＞0，

從而x∈（﹣∞，﹣1）時，G（x）有唯一零點，

即a＞0時，函數(shù)G（x）有2個零點；

③a＜0時，G′（x）=a（x+1）（ex+ ），

由G′（x）=0，解得：x=﹣1或ln（﹣ ），

若﹣1=ln（﹣ ），即a=﹣2e時，G′（x）=﹣2e（x+1）（ex﹣ ）≤0，

故G（x）遞減，至多有1個零點；

若﹣1＞ln（﹣ ），即a＜﹣2e時，G′（x）=a（x+1）（ex+ ），

注意到y(tǒng)=x+1，y=ex+ 都是增函數(shù)，

故x∈（﹣∞，ln（﹣ ））時，G′（x）＜0，G（x）遞減，

x∈（ln（﹣ ），﹣1）時，G′（x）＞0，G（x）遞增，

x∈（﹣1，+∞）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，

又∵G（x）極小值=G（ln（﹣ ））=ln2（﹣ ）+1＞0，

故G（x）至多1個零點；

若﹣1＜ln（﹣ ），即﹣2e＜a＜0時，同理得x∈（﹣∞，﹣1）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，

x∈（﹣1，ln（﹣ ））時，G′（x）＞0，G（x）遞增，

x∈（ln（﹣ ），+∞）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，

又∵G（x）極小值=G（﹣1）=﹣ ＞0，

∴G（x）至多1個零點，

綜上，若函數(shù)G（x）有2個零點，則參數(shù)a的范圍是（0，+∞）

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出G（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)G（x）的極小值，結(jié)合函數(shù)的零點確定a的范圍即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．