記函數(shù)fn(x)=a·xn-1(a∈R,n∈N*)的導(dǎo)函數(shù)為f′n(x),已知f′3(2)=12.
(1)求a的值;
(2)設(shè)函數(shù)gn(x)=fn(x)-n2ln x,試問(wèn):是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)gn(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出所有n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若實(shí)數(shù)x0和m(m>0且m≠1)滿(mǎn)足=
,試比較x0與m的大小,并加以證明.
(1)a=1 (2)存在n=1,使得函數(shù)gn(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(3)見(jiàn)解析
【解析】【解析】
(1)f3′(x)=3ax2,由f3′(2)=12得a=1.
(2)gn(x)=xn-n2ln x-1,
g′n(x)=nxn-1-=
.
因?yàn)閤>0,令gn′(x)=0得x=,
當(dāng)x>時(shí),gn′(x)>0,gn(x)是增函數(shù);
當(dāng)0<x<時(shí),gn′(x)<0,gn(x)是減函數(shù).
所以當(dāng)x=時(shí),gn(x)有極小值,也是最小值,
gn()=n-nln n-1.
當(dāng)x→0時(shí),gn(x)→+∞;
當(dāng)x→+∞時(shí),gn(x)→+∞.
當(dāng)n≥3時(shí),gn()=n(1-ln n)-1<0,函數(shù)gn(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)n=2時(shí),gn()=-2ln 2+1<0,函數(shù)gn(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)n=1時(shí),gn()=0,函數(shù)gn(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,存在n=1,使得函數(shù)gn(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(3)fn′(x)=n·xn-1.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720453947869819/SYS201411172045436350332207_DA/SYS201411172045436350332207_DA.011.png">=,
所以=
,
解得x0=.
則x0-m=,
當(dāng)m>1時(shí),(n+1)(mn-1)>0.
設(shè)h(x)=-xn+1+x(n+1)-n(x≥1),則h′(x)=-(n+1)xn+n+1=-(n+1)·(xn-1)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),
所以h(x)在[1,+∞)上是減函數(shù).
又m>1,所以h(m)<h(1)=0,
所以x0-m<0,所以x0<m.
當(dāng)0<m<1時(shí),(n+1)(mn-1)<0.
設(shè)h(x)=-xn+1+x(n+1)-n(0<x≤1),
則h′(x)=-(n+1)xn+n+1=-(n+1)·(xn-1)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以h(x)在(0,1]上是增函數(shù).
又因?yàn)?<m<1,所以h(m)<h(1)=0,
所以x0-m>0,所以x0>m.
綜上所述,當(dāng)m>1時(shí),x0<m,當(dāng)0<m<1時(shí),x0>m.
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已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x×,則f(-4)的值是________.
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“a>0”是“a2+a≥0”的____________條件.
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滿(mǎn)足cos α≤-的角α的集合為_(kāi)_______.
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點(diǎn)P從(1,0)出發(fā),沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
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函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是________.
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已知函數(shù)f(x)=ax-ln x,g(x)=,它們的定義域都是(0,e],其中e是自然對(duì)數(shù)的底e≈2.7,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求證:f(m)>g(n)+對(duì)一切m,n∈(0,e]恒成立;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,說(shuō)明理由.
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若函數(shù)f(x)=x2+ax+在
上是增函數(shù),則a的取值范圍是________.
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設(shè)P和Q是兩個(gè)集合,定義集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q=________.
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