Question

11．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，D、E分別為棱CC₁、B₁C₁的中點，
（1）求A₁B與平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（2）在線段AC上是否存在一點P，使得PE⊥平面A₁BD？若存在，確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C，可證明BC⊥平面AA₁C₁C得出∠BA₁C為所求線面角；
（2）以C為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)CP=a，求出$\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{D{A}_{1}}$的坐標(biāo)，令$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$解出a，根據(jù)a的大小作出結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)A₁C，
∵CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，又BC⊥AC，AC?平面ACC₁A₁，CC₁?平面ACC₁A₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∴∠BA₁C為A₁B與平面ACC₁A₁所成的角．
∵AC=CC₁=BC=2，AC⊥BC，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴A₁B=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BA₁C=$\frac{BC}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）以C為原點，以CB，CA，CC₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），E（1，0，2），設(shè)P（0，a，0），
則$\overrightarrow{PE}$=（1，-a，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，2，1），
假設(shè)PE⊥平面BDA₁，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2+2=0}\\{-2a+2=0}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴當(dāng)P為AC的中點時，PE⊥平面A₁BD．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．