【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若存在實數(shù)使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）把函數(shù)化簡為，這個分段函數(shù)是由兩個二次函數(shù)構成，右邊是開口向上的拋物線的一部分，對稱軸是，左邊是開口向下的拋物線的一部分，對稱軸是，為了使函數(shù)為增函數(shù)，因此有；（2）方程有三個不相等的實數(shù)根，就是函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，為此研究函數(shù)的單調性，由（1）知當時，在上單調遞增，不合題意，當時，，在上單調增，在上單調減，在上單調增，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根的條件是， 由此有，因為，則有，由于題中是存在，故只要大于1且小于的最大值；當時同理討論即可．

試題解析：（1），

當時，的對稱軸為：；

當時，的對稱軸為：；

∴當時，在R上是增函數(shù)，

即時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）方程的解即為方程的解．

①當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴關于的方程不可能有三個不相等的實數(shù)根；

②當時，即，

∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根；即，

∵∴．

設，

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，

又可證在上單調增

∴∴；

③當時，即，∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根；

即，∵∴，設

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，又可證在上單調減∴

∴；

綜上：．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C經(jīng)過原點O（0，0）且與直線y=2x﹣8相切于點P（4，0）．

（1）求圓C的方程；

（2）已知直線l經(jīng)過點（4, 5），且與圓C相交于M，N兩點，若|MN|=2，求出直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】云南省2016年高中數(shù)學學業(yè)水平考試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制，各登記劃分標準為：85分及以上，記為A等，分數(shù)在[70，85）內，記為B等，分數(shù)在[60，70）內，記為C等，60分以下，記為D等，同時認定等級分別為A，B，C都為合格，等級為D為不合格． 已知甲、乙兩所學校學生的原始成績均分布在[50，100]內，為了比較兩校學生的成績，分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別作出甲校如圖1所示樣本頻率分布直方圖，乙校如圖2所示樣本中等級為C、D的所有數(shù)據(jù)莖葉圖．

（1）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；
（2）在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用X表示所抽取的3名學生中甲校的學生人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足2 =an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=（an+1）2 ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系中，曲線C1： （a為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換 后的曲線為C2 ， 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求C2的極坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C3的極坐標方程為ρsin（ ﹣θ）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點，求|PQ|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入a，b，c分別為1，2，0.3，則輸出的結果為（ ）
A.1.125
B.1.25
C.1.3125
D.1.375

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E： （a＞b＞0），圓O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圓O的一條切線l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點．
（Ⅰ）當k=﹣ ，r=1時，若點A，B都在坐標軸的正半軸上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，探究a，b，r之間的等量關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 若 （n∈N*），則稱{an}是“緊密數(shù)列”；
（1）若a1=1， ，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；
（2）若{an}為等差數(shù)列，首項a1 ， 公差d，且0＜d≤a1 ， 判斷{an}是否為“緊密數(shù)列”；
（3）設數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），將曲線C1上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標縮短為原來的 ，得到曲線C2 ， 在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為4ρsin（θ+ ）+ =0．
（1）求曲線C2的極坐標方程及直線l與曲線C2交點的極坐標；
（2）設點P為曲線C1上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

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