已知橢圓:
的左、右頂點(diǎn)分別為
,
,
為短軸的端點(diǎn),△
的面積為
,離心率是
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是橢圓
上異于
,
的任意一點(diǎn),直線
,
與直線
分別交于
,
兩點(diǎn),證明:以
為直徑的圓與直線
相切于點(diǎn)
(
為橢圓
的右焦點(diǎn)).
(Ⅰ). (Ⅱ)證明:見解析 。
【解析】(I)由題意可得,再根據(jù)
,求出a,b的值.
(II) 以為直徑的圓與直線
相切于點(diǎn)
本質(zhì)是證明:
且
.然后利用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)條件把M、N的坐標(biāo)求出來,證明即可.
請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.
(Ⅰ)解:由已知
解得,
. …………4分故所求橢圓方程為
.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,
,設(shè)橢圓右焦點(diǎn)
.設(shè)
,則
. 于是直線
方程為
,令
,得
;
所以,同理
.
所以,
.
所以
.
所以 ,點(diǎn)
在以
為直徑的圓上.
設(shè)的中點(diǎn)為
,則
.
又,
所以
.
所以 .…………12分
因為是以
為直徑的圓的半徑,
為圓心,
,故以
為直徑的圓與直線
相切于右焦點(diǎn).
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