Question

已知數(shù)列{a_n}滿足Sn=

1

3

an-1，那么

lim

n→∞

(a2+a4+…+a2n)的值為

1

．

Answer 1

分析：由遞推公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2），統(tǒng)一形式，消掉S_n，得到a_n的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求和，然后可求極限

解答：解：∵Sn=

1

3

an-1…①
當(dāng)n=1時(shí)，S1=

1

3

a1-1，則a1=-

3

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

3

an-1-1…②，
①-②得：Sn- Sn-1=

1

3

an-

1

3

an-1即an =

1

3

an- 

1

3

an-1
∴an =-

1

2

an-1
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=-

3

2

，公比q=-

1

2

∴數(shù)列{a_2n}也是等比數(shù)列，首項(xiàng)a2=

3

4

，公比q′=q2=

1

4

∴T_n=a₂+a₄+…+a_2n=

3 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=1-

1

4n

∴

lim

n→∞

(a2+a4+…+a2n)=

lim

n→∞

(1-

1

4n

)=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用利用S_n與a_n的遞推式，根據(jù)題目求解的特點(diǎn)，消掉一個(gè)S_n或a_n，然后再構(gòu)造等差或等比數(shù)列求解，要注意公式a_n=S_n-S_n-1成立的條件n≥2．