Question

已知等差數(shù)列數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

q+3+a2=12 3+a2=q2

，且q＞0，由此能求出a_n=3n.bn=3n-1．
（2）由c_n=a_nb_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

q+3+a2=12 3+a2=q2

，且q＞0，
解得a₂=6，q=3，∴d=6-3=3，
∴a_n=3n，bn=3n-1．
（2）c_n=a_nb_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．
∴T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
②-①，得-2Tn=3+32+…+3n-n•3ⁿ⁺¹，
=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=

3n+1-3

2

-n•3n+1．
∴T_n=

3

4

(2n•3n-3n+1)=

3

4

[(2n-1)•3n+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．