Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x•[-x²+（4a+2）x-3a²-4a-2]，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a≠0時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)0＜a＜1時，記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若x∈[1-a，1+a]時，恒有|f′（x）|≤a•e^x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的符號，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為x∈[1-a，1+a]時，恒有|（x-a）（x-3a）|≤a成立，令g（x）=（x-a）（x-3a），x∈[1-a，1+a]，0＜a＜1，求出g（x）的值域，通過比較g（1-a）和-g（2a）的大小，求出|g（x）|的值域，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x•[-x²+（4a+2）x-3a²-4a-2]，
f′（x）=e^x（-x²+4ax-3a²）=-e^x（x-a）（x-3a），
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：a＜x＜3a，令f′（x）＜0，解得：x＞3a或x＜a，
∴f（x）在（-∞，a）遞減，在（a，3a）遞增，在（3a，+∞）遞減；
a＜0時，令f′（x）＞0，解得：3a＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a或x＜3a，
∴f（x）在（-∞，3a）遞減，在（3a，a）遞增，在（a，+∞）遞減；
（2）f′（x）=-e^x（x-a）（x-3a），
若x∈[1-a，1+a]時，恒有|f′（x）|≤a•e^x成立，
即x∈[1-a，1+a]時，恒有|（x-a）（x-3a）|≤a成立，
令g（x）=（x-a）（x-3a），x∈[1-a，1+a]，0＜a＜1，
函數(shù)g（x）的對稱軸是x=2a，
∵0＜a＜1，∴1-a＞0，
而2a-（1-a）=3a-1＞（1+a）-2a=1-a，
故g（x）的最大值是g（1-a）=8a²-6a+1，最小值是g（2a）=-a²，
∴g（x）在[1-a，1+a]的值域是[-a²，8a²-6a+1]，
①g（1-a）＞-g（2a）時，0＜a＜$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$或$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$＜a＜1，
|g（x）|的值域是[0，8a²-6a+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜\frac{3-\sqrt{2}}{7}或\frac{3+\sqrt{2}}{7}＜a＜1}\\{{8a}^{2}-6a+1≤a}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{7-\sqrt{17}}{16}$＜a＜$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$或$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$＜a＜$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$，
②g（1-a）≤-g（2a）時，$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$≤a≤$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$，
|g（x）|的值域是[0，a²]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-\sqrt{2}}{7}＜a＜\frac{3+\sqrt{2}}{7}}\\{{a}^{2}≤a}\end{array}\right.$，解得：$\frac{3-\sqrt{2}}{7}$≤a≤$\frac{3+\sqrt{2}}{7}$，
綜上：$\frac{7-\sqrt{17}}{16}$＜a＜$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1-a，1+a]上的值域是解題的難點．