已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（-2，0），C（1，
3
2
）
（1）求橢圓E的方程；  
（2）若直線l：x=my+1與橢圓E交于M，N兩點，點F為橢圓E的左焦點，當△FMN面積最大時，求此時直線l的方程．
分析：（1）把點A、C的坐標代入橢圓方程可得關于a，b的方程組，解出即可；
（2）易判斷直線過橢圓的右焦點（1，0），設M（x1，y1），N（x2，y2），則S△FMN=
1
2
×2×|y1-y2|=|y1-y2|，聯(lián)立直線與橢圓的方程消掉x可得y的二次方程，由韋達定理可表示出|y1-y2|，構造函數(shù)，利用單調(diào)性可得函數(shù)的最值，從而可得△FMN面積的最大值及相應的m值；
解答：解：（1）把點A、C的坐標代入橢圓方程可得
4
a2
=1
1
a2
+
9
4b2
=1
，解得
a2=4
b2=3
，
所以橢圓E的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）如圖所示：
由
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
得（3m2+4）y2+6my-9=0，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
則y1+y2=
-6m
3m2+4
，y1y2=
-9
3m2+4
，
易知直線x=my+1過橢圓的右焦點（1，0），
所以S△FMN=
1
2
×2×|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
36m2
(3m2+4)2
+
36
3m2+4
=12
m2+1
(3m2+4)2

=12
1
9(m2+1)+
1
m2+1
+6
，
令t=m2+1（t≥1），則f（t）=9t+
1
t
+6，f′（t）=9-
1
t2
＞0，
所以f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即f（t）≥f（1）=16，
所以S△FMN≤12
1
16
=3，即△FMN面積最大為3，此時m=0，
所以所求直線方程為x=1．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系、橢圓的標準方程、韋達定理及三角形面積公式，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，運算量大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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