Question

10．設(shè)x＞0．
（1）證明：${e^x}＞1+x+\frac{1}{2}{x^2}$；
（2）若${e^x}=1+x+\frac{1}{2}{x^2}{e^y}$，證明：0＜y＜x．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²），x＞0，求出導數(shù)，令g（x）=e^x-（1+x），求得單調(diào)性，即可得證；
（2）設(shè)h（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²e^x），x＞0，求出導數(shù)，設(shè)p（x）=h′（x），x＞0，判斷單調(diào)性，可得h（x）＜h（0）=0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：（1）設(shè)f（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²），x＞0，
f′（x）=e^x-（1+x），x＞0，
令g（x）=e^x-（1+x），g′（x）=e^x-1，
當x＞0，e^x＞1，g′（x）＞0，g（x）在x＞0遞增，
可得g（x）＞g（0）=0，
即為f′（x）＞0，f（x）在x＞0遞增，
可得f（x）＞f（0）=0，
即有e^x＞1+x+$\frac{1}{2}$x²，x＞0；
（2）設(shè)h（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²e^x），x＞0，
h′（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²e^x），x＞0，
設(shè)p（x）=h′（x），x＞0，p′（x）=-2xe^x-$\frac{1}{2}$x²e^x＜0，
可得p（x）在（0，+∞）遞減，即有h′（x）=p（x）＜p（0）=0，
可得h（x）在（0，+∞）遞減，即有h（x）＜h（0）=0，
即有$\frac{2（{e}^{x}-1-x）}{{x}^{2}}$＜e^x，x＞0，
則e⁰=1＜e^y=$\frac{2（{e}^{x}-1-x）}{{x}^{2}}$＜e^x，
可得0＜y＜x．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．