Question

如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點C為⊙O上異于A、B的一點，VC⊥平面ABC，且VC=2，點M為線段VB的中點．（Ⅰ）求證：BC⊥平面VAC
（Ⅱ）若AC=1，求直線AM與平面VAC所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）由線面垂直得VC⊥BC，由直徑性質得AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）分別以AC，BC，VC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AM與平面VAC所成角為θ．

解答： 證明：（Ⅰ）∵VC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴VC⊥BC，
∵點C為⊙O上一點，且AB為直徑，
∴AC⊥BC，
又∵VC，AC?平面VAC，VC∩AC=C，
∴BC⊥平面VAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分別以AC，BC，VC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2

2

，0），

VA

=（1，0，-2），

AB

=（-1，2

2

，0），M（0，

2

，1），

AM

=（-1，

2

，1），
平面VAC的法向量

m

=

CB

=（0，2

2

，0），
設直線AM與平面VAC所成角為θ，則
cos（

π

2

-θ）=cos＜

AM

，

m

＞=

4

2×2 2

=

2

2

，
故可求得：θ=

π

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，考查了轉化思想，屬于中檔題．