Question

【題目】已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點(diǎn)，、為線段上的點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）

（1）求證：平面；

（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，證明平面平面，得到點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上，記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，，得出即是直線與平面所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.

（1）連接，因?yàn)榈妊�梯�?/span>中（如圖1），，，

所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；

又為線段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；

將四邊形沿折起后，平行關(guān)系沒(méi)有變化，仍有：，且，

所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，

因?yàn)?/span>，，翻折前梯形的高為，

所以，則，；

所以；

又，，

所以，即，所以；

又，且平面，平面，

所以平面；因此，平面平面；

所以點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上；

記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，，

則平面；

所以即是直線與平面所成角，

因?yàn)?/span>，所以，

因此，，

故；

因?yàn)?/span>，

所以，

因此，故，

所以.

即直線與平面所成角的正弦值為.