Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）若直線y=

1

2

x+m是曲線y=f（x）的切線，求m的值；
（2）若直線y=ax+b是曲線y=f（x）的切線，求ab的最大值；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），是曲線y=f（x）上相異三點(diǎn)，其中0＜x₁＜x₂＜x₃，求證：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到m；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，構(gòu)造函數(shù)f（a）=-alna-a，（a＞0），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，也為最值，即可得到所求；
（3）運(yùn)用分析法，即證

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

．令f（t）=

lnt

t-1

，則f（t）的幾何意義表示過點(diǎn)（t，lnt）和（1，0）的割線斜率，運(yùn)用f（x）的導(dǎo)數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
函數(shù)f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

，
則切線的斜率為

1

x0

，
由題意可得

1

x0

=

1

2

，即x₀=2，
則切點(diǎn)為（2，ln2），
則有l(wèi)n2=

1

2

×2+m，
即有m=ln2-1．
（2）解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線的斜率為

1

x0

，
由題意可得

1

x0

=a，即x₀=

1

a

，
y₀=-lna，
則-lna=1+b，即有b=-lna-1，
即ab=a（-lna-1），
令f（a）=-alna-a，（a＞0），
則f′（a）=-（lna+1）-1=-（lna+2），
當(dāng)a＞e^-2，f′（a）＜0，f（a）遞減；當(dāng)0＜a＜e^-2，f′（a）＞0，f（a）遞增．
即有a=e^-2時(shí)，f（a）取得極大值也為最大值，且為e^-2．
則有ab的最大值為e^-2．
（3）證明：當(dāng)0＜x₁＜x₂＜x₃，要證

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．
即證

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

lnx3-lnx2

x3-x2

，即證

lnx2-lnx1

lnx3-lnx2

＞

x2-x1

x3-x2

，
即證

ln x2 x1

ln x3 x2

＞

1- x1 x2

x3 x2 -1

，即證

ln x2 x1

1- x1 x2

＞

ln x3 x2

x3 x2 -1

，
即證

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

．
令f（t）=

lnt

t-1

，
則f（t）的幾何意義表示過點(diǎn)（t，lnt）和（1，0）的割線斜率，
∵f（x）=lnx（x＞0），
∴f'（x）=

1

x

，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，0＜f'（x）＜1； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞1．
而

x1

x2

∈（0，1），則有

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞1，

x3

x2

＞1，則0＜

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

＜1．
則

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

成立．
即有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值及判斷單調(diào)性，構(gòu)造直線的斜率是解題的關(guān)鍵．