Question

已知函數(shù)f（x）=

x 3 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，函數(shù)g（x）=ax-

a

2

+3（a＞0），若對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，

1

2

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[6，+∞）
• B、[-4，+∞）
• C、（-∞，6]
• D、（-∞，-4]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別求出f（x）在[0，1]的值域A，以及g（x）在[0，

1

2

]的值域B，對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，

1

2

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，考慮A是B的子集，得到a的關(guān)系式，解出即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x 3 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，
∴當(dāng)0≤x≤

1

2

時，y的范圍是[0，

1

6

]；
當(dāng)

1

2

＜x≤1時，y′=2•

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2(2x3+3x2)

(x+1)2

＞0，
故（

1

2

，1]為增區(qū)間，y的范圍是（

1

6

，1]．
∴函數(shù)f（x）的值域為[0，1]，
∵函數(shù)g（x）=ax-

a

2

+3（a＞0），
∴x∈[0，

1

2

]，y∈[3-

a

2

，3]，
∵對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，

1

2

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]⊆[3-

a

2

，3]，即有3-

a

2

≤0，即a≥6．
∴a的取值范圍是[6，+∞）．
故選：A．

點評：本題考查分段函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時考查任意的，總存在的類型的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，以及?的包含關(guān)系，本題屬于中檔題．