Question

在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（3）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入條件得：
，解得a₂=3，，
同理得a₃=6，b₃=8，a₄=10，．（4分）
（2）猜想：，．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2b_k-a_k==b_k+1=
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立
綜合（�。�（ⅱ）對任意n∈N^*，，b_n=都成立．（8分）
（3）欲證
即證
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，左=，右=，不等式顯然成立
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即
當(dāng)n=k+1時(shí)
而=
所以
即
則n=k+1時(shí)不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）對任意n∈N^*，都有
亦即．（12分）
分析：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入條件求出a₂，b₂，同理令n=2，3即可求得a₃，a₄和b₂，b₃，b₄
（2）由（1）猜想：，．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即得；
（3）通過分析法先分析，欲證即證，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題或不等式時(shí)，要注意由歸納假設(shè)n=k成立推到n=k+1是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．