Question

【題目】已知函數(shù) ( 為實常數(shù)).
（1）若 ， ，求 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若 ，且 ，求函數(shù) 在 上的最小值及相應(yīng)的 值；
（3）設(shè) ，若存在 ，使得 成立，求實數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： 時， ，

定義域為 ，

在 上， ，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，

所以，函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ；單調(diào)減區(qū)間為

（2）解：因為 ，所以 ， ， ，

（Ⅰ）若 ， 在 上非負(fù)（僅當(dāng) 時， ），

故函數(shù) 在 上是增函數(shù)，此時

（Ⅱ）若 ， ，

當(dāng) 時， ，

當(dāng) 時， ，此時 是減函數(shù)；

當(dāng) 時， ，此時 是增函數(shù)，

故

（3）解： ，

不等式 ，即 可化為 ．

因為 ， 所以 且等號不能同時取，

所以 ，即 ，因而 （ ）

令 （ ），又 ，

當(dāng) 時， ， ，

從而 （僅當(dāng) 時取等號），所以 在 上為增函數(shù)，

故 的最小值為 ，所以實數(shù) 的取值范圍是

【解析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可。(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)通過討論a的取值范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進而求出函數(shù)的最小值即可。(3)根據(jù)題意把問題轉(zhuǎn)化為（ x ∈ [ 1 , e ] ）構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用該函數(shù)的單調(diào)性即可求出a 的取值范圍。
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．