Question

求函數(shù)f（x）=tan²x+2atanx+5，x∈[

π

4

，

π

2

)的值域（其中a為常數(shù)）．

Answer 1

分析：由條件可得tanx≥1．令 tanx=t≥1，則函數(shù)f（x）=h（t）=t²+2at+5，對稱軸為 t=-a，分a≥-1和a＜-1兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出原函數(shù)值域．

解答：解：∵x∈[

π

4

，

π

2

)，∴tanx≥1．令 tanx=t≥1，則函數(shù)f（x）=h（t）=t²+2at+5，對稱軸為 t=-a，

當a≥-1時，-a≤1，t=1時，函數(shù) h（t）有最小值為6+2a，原函數(shù)值域為[6+2a，+∞）．
當a＜-1時，-a＞1，t=-a 時，函數(shù) h（t）有最小值為 5-a²，原函數(shù)值域為[5-a²，+∞）．

點評：本題主要考查正切函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．