Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（3-ax）．
（1）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意：“當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）恒有意義”，即要考慮到當(dāng)x∈[0，2]時(shí)3-ax必須是正數(shù)，另外，題中隱含條件：a＞0且a≠1也必須注意到；
（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，再根據(jù)f（x）是減函數(shù)，X=1取得最大值，求出a的值，進(jìn)而得出當(dāng)x=2時(shí)，f（x）沒(méi)有意義，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題設(shè)，3-ax＞0對(duì)一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）
∵a＞0，∴g（x）=3-ax在[0，2]上為減函數(shù)，…（4分）
從而g（2）=3-2a＞0，
∴a＜

3

2

，
∴a的取值范圍為(0，1)∪(1，

3

2

)．…（6分）
（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，由題設(shè)知f（1）=1，
即log_a（3-a）=1，∴a=

3

2

，
此時(shí)f(x)=log

3

2

(3-

3

2

x)，…（10分）
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）沒(méi)有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．對(duì)于是否存在問(wèn)題，一般假設(shè)存在，推出結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．