Question

20．已知函數(shù)y=f（x）對任意的x∈R滿足f′（x）-f（x）ln2＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　　）

• A． 4f（-2）＞f（0）
• B． 2f（1）＞f（2）
• C． 2f（-2）＜f（-1）
• D． 2f（0）＞f（1）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{{2}^{x}f′（x）{-2}^{x}ln2f（x）}{{2}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-ln2f（x）}{{2}^{x}}$，
∵x∈R滿足f′（x）-f（x）ln2＞0，
∴g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，
則g（-2）＜g（-1），g（1）＜g（2），g（-2）＜g（0），g（0）＜g（1），
即 $\frac{f（-2）}{{2}^{-2}}$＜$\frac{f（-1）}{{2}^{-1}}$，$\frac{f（1）}{2}$＜$\frac{f（2）}{4}$，$\frac{f（-2）}{{2}^{-2}}$＜f（0），f（0）＜$\frac{f（1）}{2}$，
即2f（-2）＜f（-1），2f（1）＜f（2），4f（-2）＜f（0），2f（0）＜f（1），
故C正確．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．