Question

5．已知直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），交拋物線于M，N兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線的標準方程及準線方程；
（Ⅱ）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P，Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用焦點坐標，求出p=2，即可得到拋物線的標準方程，以及準線方程．
（Ⅱ）設M、N的坐標分別為$（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，由M、O、P三點共線可求出P點的坐標為$（-1，-\frac{4}{y_1}）$，由M、O、Q三點共線可求出Q點的坐標為$（-1，-\frac{4}{y_2}）$，設直線MN的方程為x=my+1，聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式，求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵焦點F（1，0），∴$\frac{p}{2}=1$，p=2，∴拋物線的標準方程為y²=4x，準線方程為x=-1．
（Ⅱ）設M、N的坐標分別為$（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由M、O、P三點共線可求出P點的坐標為$（-1，-\frac{4}{y_1}）$，
由M、O、Q三點共線可求出Q點的坐標為$（-1，-\frac{4}{y_2}）$，
設直線MN的方程為x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
則$|PQ|=|\frac{4}{y_2}-\frac{4}{y_1}|=\frac{{4|{y_1}-{y_2}|}}{{|{y_1}{y_2}|}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{16{m^2}+16}=4\sqrt{{m^2}+1}$，
當m=0時，|PQ|_min=4．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，拋物線方程的求法，弦長公式的應用，考查計算能力．