Question

已知等式cosα•cos2α=

sin4α

4sinα

，cos•cos2α•cos4α=

sin8α

8sinα

，…．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)具有一般性的等式，使你寫(xiě)出的等式包含了已知等式；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你寫(xiě)出的等式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）分析兩邊三角的函數(shù)名稱(chēng)及各個(gè)角的構(gòu)成及關(guān)系，進(jìn)行歸納寫(xiě)出即可；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，驗(yàn)證n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k是成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可．

解答： （1）解：cosα•cos2α•…•cos 2^n-1α=

sin2nα

2nsinα

n∈N，n≥2（n換成其他字母也對(duì)）．
（2）證明：當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，cosα•cos2α…cos2^k-1α=

sin2kα

2ksinα

成立，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
cosα•cos2α…cos2^k-1α•cos2^kα=

sin2kα

2ksinα

•cos2^kα=

sin2k+1α

2k+1sinα

?．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
由（1），（2）得cosα•cos2α•…•cos 2^n-1α=

sin2nα

2nsinα

（n∈N，n≥2）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查合情推理的能力，善于尋找數(shù)字規(guī)律，是解決數(shù)字型歸納推理的共同點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．