Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx是[1，+∞）上的增函數(shù)．
（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M對定義域內(nèi)的任意x值恒成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下確界，若函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx的定義域?yàn)閇1，+∞），根據(jù)所給函數(shù)g（x）的下確界的定義，求出當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)f（x）的下確界．
（Ⅲ）設(shè)b＞0，a＞1，求證：ln$\frac{a+b}$＞$\frac{1}{a+b}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，其導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立求參數(shù)的范圍
（Ⅱ）求下確界就是求函數(shù)的最小值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
（Ⅲ）證明不等式就是求最值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$，f′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$對x∈[1，+∞）恒成立，
又$\frac{1}{x}$≤1，∴a≥1，
故正實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=1時(shí)，函數(shù)f（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)，
故f（x）_min=f（1）=0，
f（x）≥M恒成立
∴M≤f（x）_min=0，
∴M的最大值為0，
∴當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)f（x）的下確界為0．
答：當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)f（x）的下確界是0；
（Ⅲ）證明：取x=$\frac{a+b}$，∵a＞1，b＞0，∴$\frac{a+b}$＞1，
由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（$\frac{a+b}$ ）＞f（1）=0，
∴$\frac{1-\frac{a+b}}{a•\frac{a+b}}$+ln $\frac{a+b}$＞0，
即ln $\frac{a+b}$＞$\frac{1}{a+b}$．

點(diǎn)評 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用①知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 一般轉(zhuǎn)化成道函數(shù)恒大于等于0 或小于等于0②證明不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值，若含著對數(shù)或指數(shù)一般用導(dǎo)數(shù)求最值．