Question

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f（x）。如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）>0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）。
（I）設(shè)函數(shù)，其中b為實數(shù)。
（i）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
（ii）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（2）。給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁<x₂，設(shè)m為實數(shù)，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且α>1，β>1，若|g（α）-g（β）|< |g（x₁）-g（x₂）|，求m的取值范圍。

Answer 1

解：（I）（i）由得
因為時，
所以函數(shù)具有性質(zhì)P（b）；
（ii）當(dāng)時，由得
所以
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)b>2時，解方程
得
因為，
所以當(dāng)x∈（1，x₂）時，f′（x）<0；當(dāng)x ∈（x₂，+∞）時，f'（x）>0；當(dāng)x=x₂時，f'（x）=0
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，x₂）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₂，+∞）上單調(diào)遞增
綜上所述，當(dāng)b≤2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；當(dāng)b>2時函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（Ⅱ）由題設(shè)知g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=h（x）（x²-2x+1），其中函數(shù)h（x）>0對于任意的x∈（1，+∞）都成立，所以，當(dāng)x>1時，g'（x）=h（x）（x-1）²>0，從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增。 ①當(dāng)m∈（0，1）時，有α=m₁+（1-m）x₂> mx₁+（1-m）x₁=x1，α<mx₂+（1-m）x₂= x₂，得α∈（x₁，x₂），同理可得β∈（x₁，x₂），所以由g（x）的單調(diào)性知g（α），g（β）∈（g（x₁）， g（x₂）），從而有|g（α）- g（β）|<|g（x₁）-g（x₂）|，符合題設(shè)；
②當(dāng)m≤0時，α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，β =（1-m）x₁+mx₂≤（1-m）x₁+mx₁=x₁，于是由α>1，β>1 及g（x）的單調(diào)性知g（β）≤g（x₁）<g（x₂）≤g（α），所以 |g（α）-g（β）|≥|g（x₁）-g（x₂）|，與題設(shè)不符，
③當(dāng)m≥1時，同理可得α≤x₁，β≥x₂，進(jìn)而得|g（α）-g（β）| ≥|g（x₁）-g（x₂）|，與題設(shè)不符
因此，綜合①②③得所求的m的取值范圍為（0，1）。