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對于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，定義e=
c
a
為橢圓的離心率，橢圓離心率的取值范圍是e∈（0，1），離心率越大橢圓越“扁”，離心率越小則橢圓越“圓”．若兩橢圓的離心率相等，我們稱兩橢圓相似．已知橢圓
x2
4
+
y2
m
=1與橢圓
x2
m
+
y2
9
=1相似，則m的值為
6
6
．
分析：由題意可得，m＞0且m≠4，m≠9，由已知兩橢圓相似可得離心率相等，e=
c
a
，故需要考慮橢圓的長半軸a與短半軸b，從而對m分類討論①m＜4②4＜m＜9，③m＞9分別進行求解．
解答：解：由題意可得，m＞0且m≠4，m≠9
若①m＜4，則有題意可得，
4-m
2
=
9-m
3
，此時m不存在
②4＜m＜9，則可得
m-4
m
=
9-m
3
，解可得m=6
③m＞9，則可得
m-4
3
=
m-9
m
，此時m不存在
故答案為：6
點評：本題主要考查了以新定義：橢圓的相似為載體，主要是通過分類討論m與4及9的大小，確定橢圓的長半軸及短半軸，及橢圓離心率的求解，體現了分類討論思想的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
．
（I）若原點到直線x+y-b=0的距離為
2
，求橢圓的方程；
（II）設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點．
（i）當|AB|=
3
，求b的值；
（ii）對于橢圓上任一點M，若
OM
=λ
OA
+μ
OB
，求實數λ，μ滿足的關系式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P（-1，
2
2
）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求
sinA+sinB
sinC
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點P的坐標為（-a，b）．
（1）若直角坐標平面上的點M、A（0，-b），B（a，0）滿足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求點M的坐標；
（2）設直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點，交直線l2：y=k2x于點E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點；
（3）對于橢圓┍上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個交點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，寫出求作點P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線傾斜角為
π
6
，原點到該直線的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F兩點，若
ED
=2
DF
，求直線EF的方程；
（3）對于D（-1，0），是否存在實數k，直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
．
（I）若原點到直線x+y-b=0的距離為
2
，求橢圓的方程；
（II）設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點．
（i）當|AB|=
3
，求b的值；
（ii）對于橢圓上任一點M，若
OM
=λ
OA
+μ
OB
，求實數λ，μ滿足的關系式．

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