Question

已知拋物線y=-

1

2

x²，過點(diǎn)M（0，-1）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率之和為1，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得設(shè)直線l的方程為y=kx-1，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²+2kx-2=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得答案．

解答： 解：由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²+2kx-2=0，
所以x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2，
因?yàn)镺A和OB的斜率之和為1，即

y1

x1

+

y2

x2

=1，
所以

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2k-

x1+x2

x1x2

=1，
所以k=1，
所以直線l的方程為y=x-1．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及方程思想，屬于中檔題．