Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A₁,A₂,B₁,B₂為橢圓（a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A₁B₁與直線B₁F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為？

Answer 1

解法一：由題意，可得直線A₁B₂的方程為，直線B₁F的方程為

兩直線聯(lián)立則點(diǎn)T，則M，由于此點(diǎn)在橢圓上，故有，整理得3a²-10ac-c²=0

即e²+10e-3=0，解得

故答案為

解法二：對(duì)橢圓進(jìn)行壓縮變換，,

橢圓變?yōu)閱挝粓A：x′²+y′²=1，F(xiàn)′（，0）．

延長(zhǎng)TO交圓O于N，易知直線A₁B₂斜率為1，TM=MO=ON=1，A₁B₂＝，

設(shè)T（x′，y′），則TB₂＝x′，y′=x′+1，

由割線定理：TB₂×TA₁=TM×TN，，

x′＝（負(fù)值舍去），y′＝

易知：B₁（0，-1），直線B₁T方程：

令y′=0

x′＝，即F橫坐標(biāo)

即原橢圓的離心率e=＝

故答案：

解法一：可先直線A₁B₂的方程為，直線B₁F的方程為，聯(lián)立兩直線的方程，解出點(diǎn)T的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可解出離心率的值；

解法二：對(duì)橢圓進(jìn)行壓縮變換，,橢圓變?yōu)閱挝粓A：x′²+y′²=1，F(xiàn)′（，0）．根據(jù)題設(shè)條件求出直線B₁T方程，直線直線B₁T與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該橢圓的離心率．