Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-

ax

x+a

，其中a＞1，設(shè)a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1）．請證明：

3

n+2

≥a_n≥

2

n+2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：求a=2，3時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷f（x）的單調(diào)性，得到ln（x+1）＞

2x

x+2

（x＞0），ln（x+1）＜

3x

x+2

，（0＜x＜3），再利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．

解答： 證明：當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=ln（x+1）-

2x

2+x

的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，
此時函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞

2x

x+2

，（x＞0），
當(dāng)a=3時，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

x2-3x

(x+1)(x+3)2

，由f′（x）＜0，得0＜x＜3，
即有f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，
則當(dāng)x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜

3x

x+2

，
下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

成立，
①當(dāng)n=1時，由已知

2

3

＜a₁=1，故結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即

2

k+2

＜a_n≤

3

k+2

，
則當(dāng)n=k+1時，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（

2

k+2

+1）＞

2• 2 k+2

2 k+2 +2

=

2

k+3

，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（

3

k+2

+1）＜

3• 3 k+2

3 k+2 +3

=

3

k+3

，
即當(dāng)n=k+1時，

2

k+3

＜a_k+1≤

3

k+3

成立，
綜上由①②可知，對任何n∈N^•結(jié)論都成立．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大．