如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角的大��;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.
(Ⅰ)證明因為底面ABCD是菱形,∠ABC=60°, 所以AB=AD=AC=a,在△PAB中, 由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD. (Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,連結(jié)EH, 則EH⊥AC,∠EHG即為二面角 又PE∶ED=2∶1,所以 從而 (Ⅲ)解法一 以A為坐標(biāo)原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件,相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為 所以 設(shè)點F是棱PC上的點, 令 解得 即 亦即,F是PC的中點時, 又BF 解法二 當(dāng)F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC,證明如下, 證法一 取PE的中點M,連結(jié)FM,則FM//CE.① 由 連結(jié)BM、BD,設(shè)BD 所以BM∥OE.② 由①、②知,平面BFM//平面AEC. 又BF 證法二 因為 所以 又BF |
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PE |
PD |
π |
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