如圖,在底面是菱形的四棱錐PABCD中,∠ABC=60°,PAACa,PBPD,點EPD上,且PEED=2∶1.

(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求以AC為棱,EACDAC為面的二面角的大��;

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

答案:
解析:

  (Ⅰ)證明因為底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,

  所以ABADACa,在△PAB中,

  由PA2AB2=2a2PB2PAAB

  同理,PAAD,所以PA⊥平面ABCD

  (Ⅱ)解:作EGPAADG,由PA⊥平面ABCD

  知EG⊥平面ABCD.作GHACH,連結(jié)EH,

  則EHAC,∠EHG即為二面角的平面角.

  又PEED=2∶1,所以

  從而

  (Ⅲ)解法一 以A為坐標(biāo)原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件,相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為

  

  

  所以

  

  

  設(shè)點F是棱PC上的點,其中

  

  

  令

  

  解得

  即時,

  亦即,FPC的中點時,、共面.

  又BF平面AEC,所以當(dāng)F是棱PC的中點時, BF∥平面AEC

  解法二 當(dāng)F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC,證明如下,

  證法一 取PE的中點M,連結(jié)FM,則FM//CE.①

  由EMD的中點.

  連結(jié)BMBD,設(shè)BDACO,則OBD的中點.

  所以BMOE.②

  由①、②知,平面BFM//平面AEC

  又BF平面BFM,所以BF∥平面AEC

  證法二

  因為

  

  所以、、共面.

  又BF平面ABC,從而BF∥平面AEC


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大��;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大�。�
(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=
2
SA,點P在SD上,且SD=3PD.
(1)證明SA⊥平面ABCD;
(2)設(shè)E是SC的中點,求證BE∥平面APC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,點E、F、G分別為CD、PD、PB的中點.PA=AD=2.
(1)證明:PC∥平面FAE;
(2)求二面角F-AE-D的平面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=2,PB=PD=2
2
,點F是PC的中點.
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求BF與平面ABCD所成角的大小;
(Ⅲ)若點E在棱PD上,當(dāng)
PE
PD
為多少時二面角E-AC-D的大小為
π
6
?

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