Question

9．定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[0，1]時，f（x）=x+b，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{5}$）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出f（1）=0，即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，然后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，結合函數(shù)與方程之間的關系轉化兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），
∴令x=-1，得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
即f（1）=f（1）-f（1）=0，
則f（1）=0，
即對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x+b，
∴f（1）=1+b=0，則b=-1，
即當x∈[0，1]時，f（x）=x-1，
若x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]時，
則f（-x）=-x-1=f（x），
則當x∈[-1，0]時，f（x）=x+1，
由函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）=0，得f（x）=log_a（x+1），
作出f（x）和g（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上的圖象
若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三個零點，
則等價為兩個函數(shù)f（x）和g（x）在（0，+∞）上恰好有三個交點，
若a＞1，兩個函數(shù)只有一個交點，不滿足條件．
若0＜a＜1，要使兩個函數(shù)有三個交點，
則點A（2，-1）則g（x）的圖象的下方，B（4，-1）在g（x）的上方，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=lo{g}_{a}3＜-1}\\{g（4）=lo{g}_{a}5＞-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{3}}\\{a＞\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{5}$＜a＜$\frac{1}{3}$，
即實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$），
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用函數(shù)與方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點問題，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式以及在一個周期內(nèi)的解析式是解決本題的關鍵．