Question

四棱錐P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC與BD交于點O．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB=2，求點O到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）首先利用四棱錐P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC與BD交于點O，得到：OP⊥AC，AC⊥BD
進一步得到：AC⊥平面PBD，PB?平面PBD，所以：PB⊥AC
（2）利用（1）的部分結論：平面PAC⊥平面ABCD，OP⊥平面ABCD，進一步求得：OP=

3

  AC=2

3

  AO=CO=

3

，利用V_P-OBC=V_O-PBC，求得：O到平面PBC的距離．

解答：
（1）證明：連結OP，
因為四棱錐P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC與BD交于點O
所以：OP⊥AC，AC⊥BD
AC⊥平面PBD
PB?平面PBD
所以：PB⊥AC
（2）解：平面PAC⊥平面ABCD，
OP⊥平面ABCD
∵∠ABC=60°，PB=AB=2
∴OP=

3

  AC=2

3

  AO=CO=

3

∴進一步得到△PBC為等邊三角形
所以：V_P-OBC=V_O-PBC 
設點O到平面PBC的距離為h
∴

1

3

•

1

2

•1•

3

•

3

=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

h
h=

3

2

點評：本題考查的知識要點：線線垂直與線面垂直的轉化，線面垂直的判定和性質，面面垂直的性質，利用幾何體的體積相等等相關的運算問題．