Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線(xiàn)x2-

y2

4

=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0（O為原點(diǎn)坐標(biāo)）且|PF₁|=λ|PF₂|，則λ的值為

2

．

Answer 1

分析：由已知中(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0可得|

OP

 |=|

OF2

 |，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得△PF₁F₂是以P為直角的直角三角形，進(jìn)而根據(jù)P是雙曲線(xiàn)右支上的點(diǎn)，及雙曲線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程可得|PF₂|，|PF₁|，進(jìn)而求出λ的值．

解答：解：由雙曲線(xiàn)方程x2-

y2

4

=1可得
a=1，b=2，c=

5

，
∴|

OF2

 |=

5

又∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0
∴(

OP

+

OF2

)•(

OP

-

OF2

)=0
∴

OP

2-

OF2

2=0
∴|

OP

 |=|

OF2

 |=

5

故△PF₁F₂是以P為直角的直角三角形
又∵P是雙曲線(xiàn)右支上的點(diǎn)
∴|PF₁|＞|PF₂|，
∴|PF₁|=|PF₂|+2，
由勾股定理可得|PF₁|²+（|PF₂|+2）²=4C²=20
解得|PF₂|=2，|PF₁|=4
故λ=2
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中根據(jù)已知中(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0可得|

OP

 |=|

OF2

 |，進(jìn)而判斷出△PF₁F₂是以P為直角的直角三角形是解答的關(guān)鍵．