Question

已知函數y=4cos²x-4

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求出函數的最小正周期；
（2）求出函數的最大值及其相對應的x值；
（3）求出函數的單調增區(qū)間；
（4）求出函數的對稱軸．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用二倍角的正弦、余弦公式，以及兩角差的正弦公式，化簡函數解析式化為y=-4sin(2x-

π

6

)+2，
（1）根據最小正周期公式T=

2π

|ω|

求解；
（2）根據解析式知：當sin(2x-

π

6

)=-1時，函數取最大值，求出原函數的最大值和對應的x的值；
（3）根據解析式知：原函數的單調增區(qū)間為正弦函數單調減區(qū)間，即

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），求解即可；
（4）根據正弦函數得對稱軸得2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），求解即可．

解答： 解：y=4cos²x-4

3

sinxcosx-1=4×

1+cos2x

2

-2

3

sin2x
=2cos2x-2

3

sin2x+2=-4sin(2x-

π

6

)+2
（1）函數的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）當sin(2x-

π

6

)=-1時，函數取最大值為：6，
此時2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），解得x=-

π

6

+kπ（k∈Z）；
（3）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得，

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數的單調增區(qū)間是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（4）由2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

3

+

kπ

2

（k∈Z），
∴函數的對稱軸方程是x=

π

3

+

kπ

2

（k∈Z）．

點評：本題考查正弦函數的性質和三角恒等變換，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及兩角和與差的正弦公式，其中靈活利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的三角函數是解本題的關鍵，注意化簡解析式是一定要把ω化為正的．