Question

20．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，斜率k=1的直線過焦點F，與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為2$\sqrt{2}$，則該拋物線的方程為（　�。�

• A． y²=2x
• B． y²=2$\sqrt{2}$x
• C． y²=4x
• D． y²=4$\sqrt{2}$x

Answer 1

分析 求出直線AB的方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系解出|y₂-y₁|，根據(jù)三角形的面積列出方程解出p，得到拋物線的方程．

解答 解：拋物線的焦點坐標為（$\frac{p}{2}$，0），直線AB的方程為y=x-$\frac{p}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得y²-2py-p²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2p，y₁y₂=-p²．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}•\frac{p}{2}|{y}_{2}-{y}_{1}|$=$\frac{p}{4}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{p}^{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
故選：C．

點評 本題考查了拋物線的性質，根與系數(shù)的關系，屬于中檔題．