Question

若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：＝1，A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點．橢圓C₂以線段A₁A₂為短軸且與橢圓C₁為“相似橢圓”．
 
(1)求橢圓C₂的方程；
(2)設(shè)P為橢圓C₂上異于A₁，A₂的任意一點，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C₁于點H.求證：H為△PA₁A₂的垂心．(垂心為三角形三條高的交點)

Answer 1

（1）＝1（2）見解析

(1)由題意可知A₁(－，0)，A₂(，0)，
橢圓C₁的離心率e＝.(3分)
設(shè)橢圓C₂的方程為＝1(a＞b＞0)，則b＝.
因為＝，所以a＝2.
所以橢圓C₂的方程為＝1.(6分)
(2)設(shè)P(x₀，y₀)，y₀≠0，則＝1，從而＝12－2
將x＝x₀代入＝1得＝1，從而y²＝3－＝，即y＝±.
因為P，H在x軸的同側(cè)，所以取y＝，即H(x₀，)．(12分)
所以kA₁P·kA₂H＝＝－1，從而A₁P⊥A₂H.
又因為PH⊥A₁A₂，所以H為△PA₁A₂的垂心．(16分)