Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.

（1）求實數(shù)的值；

（2）且時，證明：曲線的圖象恒在切線的上方；

（3）證明：不等式：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）先表示出導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立斜率的等量關(guān)系，再結(jié)合曲線過切點，即可求解；

（2）由（1）的結(jié)論可將所求問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)且時，，構(gòu)造函數(shù)，則，無法判斷正負(fù)，考慮再次求導(dǎo)：，結(jié)合零點存在定理可判斷單增，必定存在，使得，倒推出在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又結(jié)合端點值，，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，進而得證；

（3）將所證不等式同除得，由（2）的結(jié)論進行放縮，可得，即證，再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值，即可求證；

（1），由曲線在處的切線方程為知：

解得，.

（2）由題意只需證：當(dāng)且時，；

設(shè)，則，，易知在單調(diào)遞增；且，，∴必定存在，使得，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其中，

，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即當(dāng)且時，

成立；

所以當(dāng)且時，曲線的圖象在切線的上方.

（3）要證：，只需證.

由（2）知時，.

故只需證，即證，

設(shè)，則，易知在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，；

即不等式：成立.