Question

20．已知f（x）=x³+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax．
（Ⅰ）當a=4時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在（1，3）上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=4時，$f（x）={x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-4x$…（1分），
∴f'（x）=3x²+x-4=（3x+4）（x-1）…（2分）
由f'（x）＞0得x＞1或$x＜-\frac{4}{3}$
由f'（x）＜0得$-\frac{4}{3}＜x＜1$，
∴f（x）在 （1，+∞）和$（{-∞，-\frac{4}{3}}）$上單調(diào)遞增，在$[{-\frac{4}{3}，1}]$上單調(diào)遞減…（4分）
∴$f{（x）_{極大值}}=f（-\frac{4}{3}）={（-\frac{4}{3}）^3}+\frac{1}{2}×{（-\frac{4}{3}）^2}-4×（-\frac{4}{3}）=\frac{104}{27}$，
$f{（x）_{極小值}}=f（1）=1+\frac{1}{2}-4=-\frac{5}{2}$，…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+x-a，…（7分）
∴f'（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，…（8分）
所以，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，
只需f'（1）f'（3）＜0，…（10分）
即（4-a）（30-a）＜0，
∴4＜a＜30．…（12分）

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查了等價轉(zhuǎn)化方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．