Question

8．（1）當(dāng)x＞1時(shí)，求證：$2{x^2}+\frac{1}{x^2}＞2x+$$\frac{1}{x}＞2\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$；
（2）若a＜e，用反證法證明：函數(shù)f（x）=xe^x-ax²（x＞0）無(wú)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用分析法證明即可，
（2）利用反證法證明即可

解答 證明：（1）分析法：∵x＞1，
∴要證$2{x^2}+\frac{1}{x^2}＞2x+\frac{1}{x}$，
只需證2x⁴+1＞2x³+x，
即證2x³（x-1）＞x-1，
∵x＞1，
∴只需證2x³＞1，
∵x＞1，
∴2x³＞2＞1，
故$2{x^2}+\frac{1}{x^2}＞2x+\frac{1}{x}$得證．
令$x=\sqrt{t}$，則$2{（{\sqrt{t}}）^2}+\frac{1}{{{{（{\sqrt{t}}）}^2}}}$$＞2\sqrt{t}+\frac{1}{{\sqrt{t}}}$，
即$2t+\frac{1}{t}＞$$2\sqrt{t}+\frac{1}{{\sqrt{t}}}$，
則$2x+\frac{1}{x}$$＞2\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
從而$2{x^2}+\frac{1}{x^2}＞2x$$+\frac{1}{x}＞2\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}$．
（2）反證法：假設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x-ax²（x＞0）有零點(diǎn)，
則f（x）=0在（0，+∞）上有解，即$a=\frac{e^x}{x}$在（0，+∞）上有解．
設(shè)$g（x）=\frac{e^x}{x}$（x＞0），$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x-1}）}}{x^2}$（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0．
∴g（x）≥g（x）_min=g（1）=e，
∴a≥e，但這與條件a＜e矛盾，
故假設(shè)不成立，即原命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析法反證法的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．