(12分) 已知在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合。

⑴ 寫(xiě)出該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

⑵ 求線段BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶ 求BC所在直線的方程。

 

【答案】

⑴方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為⑵⑶

【解析】

試題分析：⑴ 由點(diǎn)在拋物線上，有解得p =16，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為。

⑵ 解法一：由于是的重心，設(shè)M是BC的中點(diǎn)，

所以，即有

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以

解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

解法二：

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

⑶ ∵點(diǎn)在拋物線上，

，又點(diǎn)在直線BC上

…12分

考點(diǎn)：拋物線方程及拋物線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題（直線與圓錐曲線相較于兩點(diǎn)，涉及到弦的中點(diǎn)）采用點(diǎn)差法推理化簡(jiǎn)較容易，計(jì)算量小

 

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