Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．應用空間向量方法求：
（1）求A₁B和B₁C的夾角
（2）求證：A₁B⊥AC₁．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，標出所用點的坐標，
求出向量

A1B

和

B1C

的坐標，然后利用向量

A1B

和

B1C

的夾角求解A₁B和B₁C的夾角；
（2）求出

A1B

和

AC1

的坐標，由兩向量的數(shù)量積等于0證明A₁B⊥AC₁．

解答：（1）解：如圖，
分別以DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），A（1，0，0），C₁（0，1，1）．
由

A1B

=(0，1，-1)，

B1C

=(-1，0，-1)，
∴

A1B

•

B1C

=0×(-1)+1×0+(-1)×(-1)=1．
∴cos＜

A1B

，

B1C

＞=

A1B • B1C

| A1B |•| B1C |

=

1

2 • 2

=

1

2

．
則A₁B和B₁C的夾角為

π

3

；
（2）證明：∵

A1B

=(0，1，-1)，

AC1

=(-1，1，1)，
∴

A1B

•

AC1

=0×(-1)+1×1+(-1)×1=0．
∴A₁B⊥AC₁．

點評：本題考查了異面直線所成的角，考查了面面垂直的性質，訓練了利用空間向量求解線線角，屬中檔題．