Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-ax-x²．
（Ⅰ）若x=1為函數(shù)f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：對任意正整數(shù)n，ln（n+1）＜2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由f′(x)=

a

x+1

-a-2x，f′（1）=0，知

a

2

-a-2=0，由此能求出a．
（Ⅱ）由f′(x)=

a

x+1

-a-2x，令f′（x）=0，得x=0，或x=-

a+2

2

，又f（x）的定義域為（-1，+∞），討論兩個根及-1的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，f（x）在[0，+∞）上遞減，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，由此能夠證明ln（n+1）＜2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

．

解答： 解：（1）因為f′(x)=

a

x+1

-a-2x，
令f'（1）=0，即

a

2

-a-2=0，解得a=-4，
經(jīng)檢驗：此時，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）在x=1處取極大值．滿足題意．
（2）f′(x)=

a

x+1

-a-2x=

-2x(x+ a+2 2 )

x+1

，
令f'（x）=0，得x=0，或x=-

a+2

2

，又f（x）的定義域為（-1，+∞）
①當(dāng)-

a+2

2

≤-1，即a≥0時，若x∈（-1，0），則f'（x）＞0，f（x）遞增；若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
②當(dāng)-1＜-

a+2

2

＜0，即-2＜a＜0時，若x∈（-1，-

a+2

2

)，則f'（x）＜0，f（x）遞減；
若x∈(-

a+2

2

，0），則f'（x）＞0，f（x）遞增；若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
③當(dāng)-

a+2

2

=0，即a=-2時，f'（x）≤0，f（x）在（-1，+∞）內(nèi)遞減，
④當(dāng)-

a+2

2

＞0，即a＜-2時，若x∈（-1，0），則f'（x）＜0，f（x）遞減；若x∈（0，-

a+2

2

)，
則f'（x）＞0，f（x）遞增；若x∈(-

a+2

2

，+∞），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
（3）由（2）知當(dāng)a=1時，f（x）在[0，+∞）上遞減，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，
∵

1

i

＞0，∴ln(1+

1

i

)＜

1

i

+

1

i2

=

i+1

i2

，i=1，2，3，…，n，
∴ln2+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜2+

3

4

+…+

n+1

n2

，
∴ln(n+1)＜2+

3

4

+…+

n+1

n2

．

點評：本題考查函數(shù)極值的意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明：對任意的正整數(shù)n．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的合理運用，恰當(dāng)?shù)乩�用裂項求和法進(jìn)行解題．