Question

19．已知函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x-（a+1）x-1．
（1）求y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）e^x，然后對(duì)a分類分析，當(dāng)a≥0，則g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，再由f（0）=0，可得x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立；當(dāng)a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)分析x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f'（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1），
∴f'（0）=0，
因此y=f（x）在（0，f（0））處的切線l的斜率為0，
又f（0）=0，
∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=0；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（ax+1）e^x-（a+1）x-1＞0恒成立，
令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）e^x，
若a≥0，則g′（x）=（ax+1+2a）e^x＞0，g（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
由f（0）=0，∴x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立；
若a＜0，當(dāng)a$≤-\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
由f（0）=0，∴x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不成立；
當(dāng)$-\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，x∈（0，$-\frac{2a+1}{a}$）時(shí)，g′（x）＞0，x∈（$-\frac{2a+1}{a}，+∞$）時(shí)，g′（x）＜0，
g（x）在（0，+∞）上有最大值為g（$-\frac{2a+1}{a}$），當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴存在x₀∈（$-\frac{2a+1}{a}，+∞$），使f（x）＜0，即x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不恒成立．
綜上，a的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是難題．