Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a＞1，h（x）=e^3x-3ae^xx∈[0，ln2]，求h（x）的極小值；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函數(shù)F（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（0＜m＜n），且2x=m+n．問(wèn)：函數(shù)F（x）在點(diǎn)（x，F(xiàn)（x））處的切線(xiàn)能否平行于x軸？若能，求出該切線(xiàn)方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)題意寫(xiě)出：g（x）再求導(dǎo)數(shù)，由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用換元法令t=e^x，則t∈[1，2]，則h（t）=t³-3at，接下來(lái)利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得出h（x）的極小值；
（Ⅲ）對(duì)于能否問(wèn)題，可先假設(shè)能，即設(shè)F（x）在（x，F(xiàn)（x））的切線(xiàn)平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx結(jié)合題意，列出方程組，證得函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，最后出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，即切線(xiàn)不能否平行于x軸．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
由題意知，g′（x）≥0，對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，即
又∵x＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
∴，可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=e^x，則t∈[1，2]，則
h（t）=t³-3at，
由h′（t）=0，得或（舍去），
∵，∴
若，則h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減；若，則h′（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)，h（t）取得極小值，極小值為
（Ⅲ）設(shè)F（x）在（x，F(xiàn)（x））的切線(xiàn)平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx
結(jié)合題意，有
①-②得
所以，由④得
所以
設(shè)，⑤式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181447942685081/SYS201310241814479426850021_DA/25.png">
設(shè)，
所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即，也就是此式與⑤矛盾
所以F（x）在（x，F(xiàn)（x））的切線(xiàn)不能平行于x軸
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，根據(jù)解題要求選擇是否分離變量，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)考查了學(xué)生的靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．