【題目】如圖，在正方形ABCD的一邊CD內(nèi)任取一點E，過E作對角線AC的平行線，交對角線BD于點G、交邊AD于點H、交邊BA的延長線于點F，聯(lián)結(jié)BH交DF于點M．求證：

（1）C、G、M三點共線；

（2）C、E、M、F四點共圓．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由已知有，．于是，．

又，則H是的垂心．

故通過H的BM也是三角形的高線，得．

進而，M、A、B、C、D五點共圓（或說點M在正方形ABCD的外接圓上）．

如下圖．聯(lián)結(jié)CM、CC．則CM、CG在CD的同側(cè)，有．①

又由H是的垂心，有M、F、B、G的四點共圓．于是，．②

由式①、②有．

于是，CM與CG重合．

因此，C、G、AM三點共線．

（2）由（1）知M、F、B、G四點共圓及M、A、B、C、D五點共圓，得．

于是，C、E、M、F四點共圓．

【注】當(dāng)點E沿方向運動到線段CD之外時，結(jié)論仍成立（可用坐標(biāo)法統(tǒng)一證明）．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.

（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？

（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.

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【題目】如圖，有三種類型的紙片(可翻轉(zhuǎn))。

證明:（1）當(dāng)時，的紙板不能分割成若干個I型、II型的紙片;

（2）當(dāng)n為大于2的偶數(shù)時，的紙板可以分割成若干個II型、III型的紙片。

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【題目】楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一.在歐洲，左下圖叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年發(fā)現(xiàn)的這一規(guī)律，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.某大學(xué)生要設(shè)計一個程序框圖，按右下圖標(biāo)注的順序?qū)⒈砩系臄?shù)字輸出，若第5次輸出數(shù)“1”后結(jié)束程序，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件為( )

A. B. C. D.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知，為拋物線：上兩點，為拋物線焦點.分別過，作拋物線的切線交于點.

（1）若，求；

（2）若，分別交軸于，兩點，試問的外接圓是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

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【題目】第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項，329個小項．來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技．軍運會召開前，為迎接軍運會順利召開，武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解軍運會的相關(guān)知識，并倡議大家做文明公民．武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者，他們得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：

組別

（30，40）

（40，50）

（50，60）

（60，70）

（70，80）

（80，90）

（90，100）

頻數(shù)

5

30

40

50

45

20

10

（1）若此次問卷調(diào)查得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計總體，設(shè)，分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表），

①求的值；

②經(jīng)計算，求的值．

（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運市民制定如下獎勵方案：得分低于的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于的可獲得2次抽獎機會，在一次抽獎中，抽中價值為15元的紀(jì)念品的概率為；抽中價值為30元的紀(jì)念品的概率為，現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運參與者，記為他參加活動獲得紀(jì)念品的總價值，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：若，則，．．

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【題目】己知展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.展開式中的有理項是第2項和第5項B.展開式中沒有常數(shù)項

C.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項和第4項D.展開式中系數(shù)最大的項是第5項

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓在左、右焦點分別為，，動點在橢圓上，的周長為6，且面積的最大值為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)直線與的另一個交點為，過，分別作直線的垂線，垂足為，，與軸的交點為.若，，的面積成等差數(shù)列，求直線斜率的取值范圍.

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